沈陽(yáng)二中 劉銳

　　在備考的后期，適度的處理一些對(duì)你構(gòu)成挑戰(zhàn)性的問(wèn)題是有益的。本文在G·波利亞圍繞問(wèn)題解決過(guò)程設(shè)計(jì)的一段師生對(duì)話的基礎(chǔ)上，添加了更具高中特征的一些內(nèi)容，同時(shí)刪除了一些關(guān)于更深入的解題過(guò)程的議論，試圖闡釋高中階段具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的工作環(huán)節(jié)及其思維的發(fā)展脈絡(luò)。

　　一、熟悉問(wèn)題

　　(“S”代表學(xué)生，“T”代表老師，下同)

　　S: 我應(yīng)該從哪兒開始？

　　T: 從問(wèn)題的敘述開始。

　　S: 我能做什么？

　　T: 觀察揣摩整個(gè)問(wèn)題，盡量使其清晰而鮮明?？梢詴簳r(shí)拋開細(xì)節(jié)。

　　S:這樣做，我能得到什么好處？

　　T: 你會(huì)明白問(wèn)題，使自己熟悉問(wèn)題，并把問(wèn)題的目標(biāo)牢記在腦海中。這樣全神貫注地對(duì)待問(wèn)題也會(huì)調(diào)動(dòng)你的記憶力，做好準(zhǔn)備去重新聯(lián)想與問(wèn)題有關(guān)的各點(diǎn)。

　　二、深入理解問(wèn)題

　　S: 我應(yīng)該從哪兒開始？

　　T: 還是從問(wèn)題的敘述開始。當(dāng)你對(duì)問(wèn)題的敘述已清楚地印入腦海，以致你即使暫時(shí)不去看它，你也不怕把它忘掉時(shí)，你就可以開始下面的工作了。

　　S: 我能做什么？

　　T: 先把問(wèn)題的主要部分剖析出來(lái)。未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)(包括已知數(shù)、已知圖形和已知事項(xiàng)等)是什么？條件是什么？畫張圖。并引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。

　　S: 這樣做，我能得到什么好處？

　　T: 你會(huì)準(zhǔn)備好并弄清楚以后可能起作用的細(xì)節(jié)。

　　三、探索有益的念頭

　　S: 我應(yīng)該從哪兒開始？

　　T: 從考慮問(wèn)題的主要部分開始。如求解問(wèn)題的未知、已知與條件；求證問(wèn)題的前提與結(jié)論。

　　S: 怎樣進(jìn)行？

　　T: 首先從各個(gè)方面考慮你的問(wèn)題。分別突出各個(gè)部分，考察各個(gè)細(xì)節(jié)，用不同的方式審查同一細(xì)節(jié)。試著在每一個(gè)細(xì)節(jié)發(fā)現(xiàn)某些新意義。把細(xì)節(jié)用不同的方式組合起來(lái)，從不同的角度考慮它，嘗試在整個(gè)問(wèn)題中得到某些新解釋。其次試圖找出與你現(xiàn)有知識(shí)和解題方面的經(jīng)驗(yàn)等有關(guān)的內(nèi)容。試想過(guò)去在類似的情況下有什么曾幫過(guò)你的忙。并按照如下的次序提出以下問(wèn)題：

　?、倌阋郧耙娺^(guò)它嗎？你是否見過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？

　　②看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉問(wèn)題。

　?、圻@里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)且早已解決的問(wèn)題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？

　　④你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方式重新敘述它？利用普遍化、特殊化、類比、舍去一部分限制等手段了嗎？

　?、莼氐蕉x去！

　?、弈闶欠窭昧怂械囊阎獢?shù)據(jù)？你是否利用了所有條件？

　　等等……

　　S: 你能告訴我這六個(gè)提問(wèn)的設(shè)計(jì)意圖嗎？

　　T: 問(wèn)題①和②的設(shè)計(jì)旨在找尋在過(guò)去解題過(guò)程中與現(xiàn)有問(wèn)題相同或相似的問(wèn)題，不過(guò)兩者還是有區(qū)別的，前者是從整個(gè)問(wèn)題的角度尋求相同或相似的問(wèn)題，后者是從問(wèn)題的主要部分上來(lái)找尋相同或相似的問(wèn)題。

　　問(wèn)題③是在找到與現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)且早已解決的問(wèn)題時(shí)，我們又應(yīng)如何利用？值得注意的是，這里可以利用的應(yīng)含括三個(gè)方面：原問(wèn)題的結(jié)果、方法以及結(jié)果和方法同時(shí)使用。

　　通常問(wèn)題①②③能激起一連串正確的想法，但它們也不是萬(wàn)靈的。一旦上述三個(gè)問(wèn)題的提問(wèn)沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的突破，這時(shí)我們不得不變化、變換我們的問(wèn)題，問(wèn)題④就是在這樣的背景下提出來(lái)的。

　　當(dāng)我們陷入更為被動(dòng)的狀態(tài)時(shí)，我們通過(guò)提出問(wèn)題⑤，以其獲得原問(wèn)題更為準(zhǔn)確或新的角度的認(rèn)識(shí)。

　　問(wèn)題⑥的提出位置應(yīng)該放置在熟悉和理解問(wèn)題的環(huán)節(jié)上，這里提出來(lái)是防止我們陷入對(duì)問(wèn)題的某個(gè)部分或細(xì)節(jié)的過(guò)度關(guān)注，以致顧此失彼。

　　四、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

　　S: 我應(yīng)該從哪兒開始？

　　T: 從剛剛構(gòu)建的思路開始。當(dāng)你感到你已清楚要做的主要工作，并且自信能提供可能需要的運(yùn)算與論證，就可以開始工作了。

　　S: 怎樣進(jìn)行？

　　T: 詳細(xì)地進(jìn)行你以前認(rèn)為可行的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算。如果你的問(wèn)題很復(fù)雜，可以分成“大”步驟和“小”步驟，每一大步驟又由幾個(gè)小步驟組成。首先檢查大步驟，以后再檢驗(yàn)小步驟。

　　五、回顧

　　S: 我應(yīng)該從哪兒開始？

　　T: 從解答開始，它的每一個(gè)細(xì)節(jié)都應(yīng)該是完整而正確的。

　　S: 怎樣進(jìn)行？

　　T: 從各個(gè)方面考慮這個(gè)解，找出與你已有知識(shí)之間的聯(lián)系。

　　考慮解的細(xì)節(jié)，研究每一個(gè)細(xì)節(jié)的正確性；并嘗試使它們盡可能的簡(jiǎn)單；研究解答中較冗長(zhǎng)的部分，使它們更短些；試著一眼就看出整個(gè)解。

　　試著去改進(jìn)解的各部分，使它直觀。

　　總結(jié)你解題的方法，嘗試看出它的要點(diǎn)，并且嘗試把它用于其他問(wèn)題。

　　總結(jié)所得結(jié)果并試著用于其他的問(wèn)題。

　　S: 這樣做，我能有什么好處？

　　T: 你可能找出一個(gè)新的更好的解，你可能發(fā)現(xiàn)新的有趣的事實(shí)。無(wú)論如何，如果用這個(gè)方式養(yǎng)成研究與總結(jié)你的解的習(xí)慣，你將獲得某些井然有序的、便于應(yīng)用的知識(shí)，并且將會(huì)極大地提升你的解題能力。